यदि $|\vec{c}|^2 = 60$ और $\vec{c} \times (\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) = \vec{0}$ है,तो $\vec{c} \cdot (-7\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$I$. दो शून्येतर, असंरेख सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं।
$II$. कोई भी तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं।
उपरोक्त में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?

मान लीजिए $\vec{\alpha} = (\lambda - 2) \vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{\beta} = (4\lambda - 2)\vec{a} + 3\vec{b}$ दो दिए गए सदिश हैं जहाँ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ असंरेख (non-collinear) हैं। $\lambda$ का वह मान जिसके लिए सदिश $\vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}$ संरेख (collinear) हैं,है:

यदि $P$,बिंदुओं $A$ और $B$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है और $A$ तथा $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i}-2\hat{j}$ और $-3\hat{i}+5\hat{j}$ हैं,तो $P$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

एक त्रिभुज के माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु (केंद्रक) का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए,जिसके शीर्ष $A(1, 2, 3)$,$B(1, 0, 3)$ और $C(4, 1, -3)$ हैं।

$L$ और $M$ दो बिंदु हैं जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $2 \vec{a}-\vec{b}$ और $\vec{a}+2 \vec{b}$ हैं। बिंदु $N$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जो रेखाखंड $LM$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है।